Was ist bedingte wahrscheinlichkeit?

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, vorausgesetzt, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Sie formalisiert die intuitive Idee, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sich ändern kann, wenn wir zusätzliche Informationen erhalten.

Definition:

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, gegeben Ereignis B, wird als P(A|B) geschrieben und wie folgt definiert:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) , vorausgesetzt P(B) > 0

Dabei ist:

• P(A|B): Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B.
• P(A ∩ B): Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintreten (die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von A und B).
• P(B): Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt.

Wichtige Konzepte und Anwendungen:

• Bayes-Theorem: (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Bayes-Theorem) Das Bayes-Theorem leitet eine Beziehung zwischen P(A|B) und P(B|A) her und ist essentiell für das Aktualisieren von Wahrscheinlichkeiten basierend auf neuen Erkenntnissen.

• Unabhängigkeit von Ereignissen: (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Unabhängigkeit%20von%20Ereignissen) Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn das Eintreten von B keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von A hat, d.h. P(A|B) = P(A).

• Multiplikationsregel: Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit kann die Multiplikationsregel abgeleitet werden: P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A). Diese Regel ist nützlich, um die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge zweier Ereignisse zu berechnen.

• Totale Wahrscheinlichkeit: (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Totale%20Wahrscheinlichkeit) Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit ermöglicht es, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, indem man die bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses in Bezug auf eine Partition des Stichprobenraums summiert.

• Anwendungen: Bedingte Wahrscheinlichkeit findet Anwendung in vielen Bereichen, wie z.B. Medizin (Diagnostik), Finanzwesen (Risikobewertung), maschinelles Lernen (Klassifizierung) und vielen anderen.